Da die "Spielerei mit Kongruenzen" bisher brach liegt, nun eine einfache
Aufgabe über natürliche Zahlen:

Ist jede Kubikzahl als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar?

Ich stieß anläßlich eines Beitrages über die _Summe_ zweier Quadratzahlen in
dsm auf diese alte Aufgabe.

Freundliche Sonntagsgrüße, Alfred Flaßhaar

Alfred Flaßhaar schrieb :
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> Ist jede Kubikzahl als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar?
>

Hallo,

als jede Kubikzahl ist a * a^2, ist es immer

a^3 = ((a^2 + a)/2)^2 - ((a^2 - a)/2)^2

und Ja, a^2 + a = a(a + 1) ist immer gerade.
auch ist a^2 - a = a(a - 1)

(kommt aus a*a^2 = x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
also x + y = a^2, x - y = a uzw.)

Herzliche Grüsse.

--
Philippe Ch., mail : chephip+news*free.fr
site : http://mathafou.free.fr/ (recreational mathematics)

Alfred Fla??haar <A.Flasshaar*t-online.de> wrote:
# Da die "Spielerei mit Kongruenzen" bisher brach liegt, nun eine einfache
# Aufgabe ??ber nat??rliche Zahlen:
#
# Ist jede Kubikzahl als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar?
#
# Ich stie?? anl????lich eines Beitrages ??ber die _Summe_ zweier Quadratzahlen in
# dsm auf diese alte Aufgabe.
#
# Freundliche Sonntagsgr????e, Alfred Fla??haar
#


(Hier ist 0 eine natuerliche Zahl.)

Es sei A die Menge aller natuerlichen Zahlen, die sich als
Differenz von zwei Quadratzahlen darstellen lassen.
Es sei B die Menge aller natuerlichen Zahlen, die nicht von
der Form 4k+2 (mit ganzem k) sind.

Zeige: A=B


__________________________________________________ _________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

Alfred Flaßhaar <A.Flasshaar*t-online.de> wrote:

> Da die "Spielerei mit Kongruenzen" bisher brach liegt, nun eine einfache
> Aufgabe über natürliche Zahlen:
>
> Ist jede Kubikzahl als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar?
>
> Ich stieß anläßlich eines Beitrages über die _Summe_ zweier Quadratzahlen in
> dsm auf diese alte Aufgabe.
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Jedes Produkt aus natürlichen Zahlen p, q gleicher Parität - also auch
der Kubus z^3 mit z.B. p = z^2 , q = z - ist als Differenz der Quadrate
von a = (p + q)/2 und b = (p - q)/2 darstellbar.

Die Entsprechung für die Summe gilt natürlich nicht, da der Viererrest
der Summe von zwei Quadratzahlen nicht 3 sein kann. Daher ist z.B. 27
nicht als Summe zweiter Quadrate darstellbar (wie man auch ohne
Kongruenzüberlegung leicht nachrechnet), aber auch unendlich viele
weitere Kuben.

Klaus-R.

Philippe 92 wrote:
> Alfred Flaßhaar schrieb :
>>
>> Ist jede Kubikzahl als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar?
>>
Elegante Lösung.

Einen anderen Weg bietet die Summenformel für Kubikzahlen über den Ansatz :

n^3=sum(i^3, 1_n)-sum(i^3, 1_(n-1))

Viele Grüße, Alfred Flaßhaar

>
> (Hier ist 0 eine natuerliche Zahl.)
>
> Es sei A die Menge aller natuerlichen Zahlen, die sich als
> Differenz von zwei Quadratzahlen darstellen lassen.
> Es sei B die Menge aller natuerlichen Zahlen, die nicht von
> der Form 4k+2 (mit ganzem k) sind.
>
> Zeige: A=B
>
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[Spoiler]
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Für ungerade Zahlen ist es einfach (ich fasse mal 4k+1 und 4k+3 zusammen):
n = 2m+1 = (m+1)^2 - m^2

Für durch 4 teilbare Zahlen ist es kaum schwerer:
n = 4k = (k+1)^2 - (k-1)^2
(Ok, k=0 fehlt noch, das sei dem geneigten Leser als Übung überlassen ;-)

Damit sind alle Zahlen der Form 4k, 4k+1, 4k+3 als Differenz zweier
Quadratzahlen darstellbar.

Jetzt müssen wir nur noch beweisen, dass sich Zahlen der Form 4k+2 eben
nicht als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen lassen.
Betrachten wir zwei natürliche Zahlen m und n (m>n), außerdem sei d=m-n die
Differenz der Zahlen.
m^2 - n^2 = (n+d)^2 - n^2 = d^2 + 2dn
Dann haben wir zwei Fälle:
d ist gerade: Dann sind d^2 und 2dn durch 4 teilbar, damit auch die Summe
und somit nicht als 4k+2 darstellbar
d ist ungerade: Dann ist d^2 ungerade, 2dn ist gerade, damit ist auch die
Summe ungerade und auch nicht als 4k+2 darstellbar.
Voila.

"Tibor Lichtmann" <tilicht*gmx.de> schrieb

> Damit sind alle Zahlen der Form 4k, 4k+1, 4k+3 als Differenz zweier
> Quadratzahlen darstellbar.
>
> Jetzt müssen wir nur noch beweisen, dass sich Zahlen der Form 4k+2 eben
> nicht als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen lassen.

Nachdem eine Kubikzahl nicht von der Form 4k+2 sein kann (wenn a gerade ist,
ist a^34 sogar durch 8 teilbar), lautet die Antwort auf die ursprüngliche
Frage: Ja, jede Kubikzahl ist als Differenz zweier Quadratzahlen
darstellbar.

Grüße
Jutta