Hallo,

ich habe versucht, das Volumen einer N-dimensionalen Kugel zu
berechnen. Ich habe mein Ergebnis mit diesem hier verglichen:

http://en.wikipedia.org/wiki/N-spher...l_and_n-sphere

Der Koeffizient, den ich gefunden habe, ist nur der für gerade N.. Den
für ungerade N habe ich auf dem Weg verloren, weiß aber nicht wo. Ich
habe die Rechnung hier eingescannt (nur die ersten zwei Seiten sind
relevant)

http://www.airlich.de/Semester5/Frag...ung2a_scan.pdf

Für einen Hinweis wäre ich dankbar!

Gruß
Alexander

Alexander Erlich schrieb:
> Hallo,
>
> ich habe versucht, das Volumen einer N-dimensionalen Kugel zu
> berechnen. Ich habe mein Ergebnis mit diesem hier verglichen:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/N-spher...l_and_n-sphere
>
> Der Koeffizient, den ich gefunden habe, ist nur der für gerade N.. Den
> für ungerade N habe ich auf dem Weg verloren, weiß aber nicht wo. Ich
> habe die Rechnung hier eingescannt (nur die ersten zwei Seiten sind
> relevant)
>
> http://www.airlich.de/Semester5/Frag...ung2a_scan.pdf
>
> Für einen Hinweis wäre ich dankbar!

Das Integral

int_0^oo dr r^(n-1) e^-(a r^2)

ist trivial für n=2m mit Substitution u = r^2,
für ungerades n=2m+1 zieht man die Wurzel aus dem Integal mit der
doppelten Dimension 2n.

Oder man weiss mit der Gammafunktion oder mit der Rekursion der
Ableitung nach a umzugehen.

--

Roland Franzius

Danke Roland,

ich habe es gelöst, aber nur mit Mathematica:

http://www.airlich.de/Semester5/Frag...menNsphere.pdf

Für mich ist das Integral nach der Substitution für gerade n nicht
trivial. Kann man das wirklich leicht integrieren? Eine geschickte
Substitution fällt mir nicht ein, und zweimaliges partielles
Integrieren geht imo auch nicht. Würde mich mal interessieren, wie das
geht.

Wie meinst du das mit dem Wurzel aus dem Integral mit ziehen mit der
doppelten Dimension 2n?

Gruß
Alexander

Alexander Erlich schrieb:
> Danke Roland,
>
> ich habe es gelöst, aber nur mit Mathematica:
>
> http://www.airlich.de/Semester5/Frag...menNsphere.pdf
>
> Für mich ist das Integral nach der Substitution für gerade n nicht
> trivial. Kann man das wirklich leicht integrieren? Eine geschickte
> Substitution fällt mir nicht ein, und zweimaliges partielles
> Integrieren geht imo auch nicht. Würde mich mal interessieren, wie das
> geht.

I(1,a)=int dr r e^-ar^2 = int d(a r^2)/(2a) e^-ar^2
das sollte gehen, dann gilt

I(2n+1,a) = (-d/da)^n I(1,a)
>
> Wie meinst du das mit dem Wurzel aus dem Integral mit ziehen mit der
> doppelten Dimension 2n?
>

In einer Dimension funktioniert der Trick

int_R dx e^-x^2 = sqrt(int_R^2 dx dy exp(-a (x^2+y^2)))=pi/a

Die höheren ungeraden Dimensionen kann man wieder entweder mit dem
Differentiationstrick, durch Quadrieren zur doppelten geraden Dimension
oder durch Abspalten einer Dimension erledigen.


--

Roland Franzius

Alexander Erlich schrieb:
> Danke Roland,
>
> ich habe es gelöst, aber nur mit Mathematica:
>
> http://www.airlich.de/Semester5/Frag...menNsphere.pdf
>
> Für mich ist das Integral nach der Substitution für gerade n nicht
> trivial. Kann man das wirklich leicht integrieren? Eine geschickte
> Substitution fällt mir nicht ein, und zweimaliges partielles
> Integrieren geht imo auch nicht. Würde mich mal interessieren, wie das
> geht.

I(1,a)=int dr r e^-ar^2 = int d(a r^2)/(2a) e^-ar^2
das sollte gehen, dann gilt

I(2n+1,a) = (-d/da)^n I(1,a)
>
> Wie meinst du das mit dem Wurzel aus dem Integral mit ziehen mit der
> doppelten Dimension 2n?
>

In einer Dimension funktioniert der Trick

int_R dx e^-x^2 = sqrt(int_R^2 dx dy exp(-a (x^2+y^2)))=sqrt(pi/a)

Die höheren ungeraden Dimensionen kann man wieder entweder mit dem
Differentiationstrick, durch Quadrieren zur doppelten geraden Dimension
oder durch Abspalten einer Dimension erledigen.


--

Roland Franzius