Thomas Plehn schrieb am 29.10.2009 11:50:
> "The Dust of Time" <cccc*cc-edge.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:52beb3c7-0934-4078-aa4d-5855c3953f04*a21g2000yqc.googlegroups.com...
>
>> Alfred, wenn alle flapsig sind dann bin ich es auch, weil Außenseiter
>> ist noch schlimmer ( siehe NSdAP in Österreich ! ).
>
>> Error: 222222222222222 is too big! ???????????????
>
>> Und noch eine Aufgabe für dich : Ich will von München aus mit meinem
>> VW Käfer alle Städte Österreichs besuchen und photographieren - mit
>> welcher Stadt soll ich anfangen ?
>
> ich finde es absolut bescheuert von dir, sich über Menschen, die helfen
> anderer Leute Probleme zu lösen, auch noch deswegen lustig zu machen und
> anzudeuten, ob er denn nichts besseres zutun hätte.
>

Danke für deine Verteidigung und (für mich) Klarstellung, um welche
Kategorie von Postern es sich da handelt.
Ich hätte dem Herren (oder der Dame) ohnehin nichts antworten können.

On 29 Okt., 23:14, Alfred Heiligenbrunner
<alfred.heiligenbrunner_nos...*gmx.at> wrote:
> Stephan Gerlach schrieb am 29.10.2009 13:00:
>
>
>
>
>
> > Alfred Heiligenbrunner schrieb:
> >> Pascal schrieb am 28.10.2009 20:55:
>
> >>> In dem Spiel dreht es sich um die natürliche Zahl k, welche zu Begin
> >>> 0 ist und welche man als Spieler erhöhen möchte.
> >>> In jeder Runde wird jetzt:
> >>> - mit einer Wahrscheinlichkeit von p=1/3 der Wert von k um eins erhöht.
> >>> - ansonsten (p=2/3) wird k um eins erniedrigt, ist allerdings k=0
> >>> bleibt es 0.
>
> >>> Beispiel:
> >>> 1. Runde: k=0
> >>> 2. Runde: k=0
> >>> 3. Runde: k=1
> >>> 4. Runde: k=0
> >>> 5. Runde: k=1
> >>> 6. Runde: k=2
>
> >>> Die Frage lautet jetzt, wieviele Runden man im Durchschnitt braucht
> >>> um z.B. k=6 zu erreichen (Erwartungswert?). Wie würde man soetwas
> >>> rechnen?
>
> > [...]
>
> >> Von 'k=0' kommt man im Mittel nach 360 Schritten zu 'k=6'.
> >> (Mit etwas Eigenwerbung:http://www.heiligenbrunner.at/main/ahstoch.htm..)
>
> > Was nimmt man als korrekte Eingabe im Programm, folgendes?
>
> > * *Null * * * * *Null * * * * 2/3
> > * *Null * * * * *Eins * * * * 1/3
> > * *Eins * * * * *Null * * * * 2/3
> > * *Eins * * * * *Zwei * * * * 1/3
> > * *Zwei * * * * *Eins * * * * 2/3
> > * *Zwei * * * * *Drei * * * * 1/3
> > * *Drei * * * * *Zwei * * * * 2/3
> > * *Drei * * * * *Vier * * * * 1/3
> > * *Vier * * * * *Drei * * * * 2/3
> > * *Vier * * * * *Fünf * * * * 1/3
> > * *Fünf * * * * *Vier * * * * 2/3
> > * *Fünf * * * * *Sechs * * * *1/3
> > * *Sechs * * * * Fünf * * * * 0
> > * *Sechs * * * * Sechs * * * *1
>
> Ja.
> Oder auch folgendes:
>
> -- Dies ist die Beschreibung eines stochastischen Automaten
> --
> -- von_Knoten * *zu_Knoten * *Übergangswahrscheinlichkeit
> -- ---------- * *--------- * *---------------------------
> * * k0 * * * * * *k0 * * * * * 2/3
> * * k0 * * * * * *k1 * * * * * 1/3
> * * k1 * * * * * *k0 * * * * * 2/3
> * * k1 * * * * * *k2 * * * * * 1/3
> * * k2 * * * * * *k1 * * * * * 2/3
> * * k2 * * * * * *k3 * * * * * 1/3
> * * k3 * * * * * *k2 * * * * * 2/3
> * * k3 * * * * * *k4 * * * * * 1/3
> * * k4 * * * * * *k3 * * * * * 2/3
> * * k4 * * * * * *k5 * * * * * 1/3
> * * k5 * * * * * *k4 * * * * * 2/3
> * * k5 * * * * * *k6 * * * * * 1/3
> -- Ende
>
> (Zeilen, die mit "--" beginnen, werden als Kommentar ignoriert.)
> (Da "k6" nicht als "von_Knoten" auftaucht, wird er als Endknoten
> behandelt; die Übergangswahrscheinlichkeit "von k6 zu k6" wird auf 1
> gesetzt.)
>
>
>
> > Scheint zu funktionieren; es erscheint die Übergangsmatrix, die man
> > "erwartet", und sogar sämtliche nicht angegebenen Wahrscheinlichkeiten
> > werden automatisch auf 0 gesetzt. Wobei es fast einfacher wäre, wenn man
> > die Übergangsmatrix
>
> > * * */ 2/3 * 1/3 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 *\
> > * * | *2/3 * 0 * * 1/3 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * |
> > * * | *0 * * 2/3 * 0 * * 1/3 * 0 * * 0 * * 0 * |
> > A = | *0 * * 0 * * 2/3 * 0 * * 1/3 * 0 * * 0 * |
> > * * | *0 * * 0 * * 0 * * 2/3 * 0 * * 1/3 * 0 * |
> > * * | *0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 2/3 * 0 * * 1/3 |
> > * * *\ 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 1 */
>
> > direkt eingeben könnte, aber ich will ja nicht meckern...
>
> Nun ja, die Übergangsmatrix wächst schnell in's Unübersichtliche,
> besonders in einem beschränkten Eingabefeld im Browser, die Beziehungen
> zwischen Knoten bleiben relativ übersichtlich. In der Praxis hat jeder
> Knoten nur wenige Verbindungen zu anderen Knoten.
>
>
>
> > Aber eine Frage bleibt: Wie berechnet das Programm den Erwartungswert
> > E(X) = 360
> > für
> > X = "Anzahl der Schritte bis zum erstmaligen Erreichen des Zustandes 6"?
>
> Hier kann ich nur wiedergeben, was ich aus Stochastik-Vorlesungen vor
> ca. 20 Jahren mitgenommen habe:
>
> Das Programm teilt die Knoten in transiente und absorbierend rekurrente
> Knoten ein.
> Absorbierend rekurrent ist ein Knoten, wenn er mit Wahrscheinlichkeit 1
> in sich selbst übergeht, wenn er also gewissermaßen eine Falltür ist. Es
> kann in einem Modell mehrere davon geben.
> Transient sind (für das Programm) alle anderen.
>
> Gibt es transiente [t1, t2, ...] und absorbierende rekurrente (= End-)
> Zustände [r1, r2, ...] mit einer Übergangsmatrix
>
> * * * * * * * t1 t2 t3 * r1 r2
> * * * * * *t1 * * * * *|
> * * * * * *t2 * *T * * | * R
> * * * * * *t3 * * * * *|
> * * * * * * * ---------------- ,
> * * * * * *r1 * * * * *|
> * * * * * *r2 * *0 * * | * E
>
> so erhält man
> - * die Ws., bei Start in tx in ry zu landen als * (E-T)^(-1) . R
> - * die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry als * (E-T)^(-1) . 1
> - * die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx als
> (E-T)^(-1) - E.
>
> Dabei ist E die Einheitsmatrix, 1 die Matrix aus lauter 1-en.
>
> Für Begründungen und weitere Details müsste ich ein bisschen
> nachgrübeln. Ich habe, wie erwähnt, die Sachen vor 20 Jahren gehört, vor
> 15 Jahren programmiert, vor 10 Jahren für's Internet adaptiert.
>
> Der Sourcecode ist frei zugänglich:http://www.heiligenbrunner.at/main/ahstoch.js.- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -

Also, was ist jetzt die Lösung vom Travelling Salesman Problem der
Städte in Ö. ?

Antworten !

Dieter Kadelka schrieb:

>> In dem Spiel dreht es sich um die natürliche Zahl k, welche zu Begin 0
>> ist und welche man als Spieler erhöhen möchte.
>> In jeder Runde wird jetzt:
>> - mit einer Wahrscheinlichkeit von p=1/3 der Wert von k um eins erhöht.
>> - ansonsten (p=2/3) wird k um eins erniedrigt, ist allerdings k=0
>> bleibt es 0.
>>
>> Beispiel:
>> 1. Runde: k=0
>> 2. Runde: k=0
>> 3. Runde: k=1
>> 4. Runde: k=0
>> 5. Runde: k=1
>> 6. Runde: k=2
>>
>> Die Frage lautet jetzt, wieviele Runden man im Durchschnitt braucht um
>> z.B. k=6 zu erreichen (Erwartungswert?). Wie würde man soetwas rechnen?
>>
>> Ich habe bereits mit einem Programm ein paar Tausend Durchgänge
>> simuliert und dabei auch einheitliche Zahlen herausbekommen. Mich
>> würde aber interessieren, ob jemand eine Idee für einen mathematischen
>> Ansatz hat.
>> Wenn niemand darauf Lust hat, verstehe ich das natürlich. ;-)
>
> Sei m(s) die mittlere Zeit, die man braucht um von s aus 6 oder größer
> zu erreichen. Dann m(s) = 0 für s >= 6.
>
> Für s = 0: m(0) = 1 + Wahrs., dass man wieder nach 0 kommt * m(0) +
> Wahrsch., dass man nach 1 kommt * m(1) = 1 + 2/3 * m(0) + 1/3 * m(1),

Ich versuche mir gerade zu überlegen: Wie kommt wohl diese Formel zustande?

> also m(0 = 3 + m(1)
>
> Für 0 < s < 6:
> m(s) = 1 + 2/3 * m(s-1) + 1/3 * m(s+1)

Und analog dazu diese?

Sind das irgendwelche "bekannten" Sätze (irgendwas mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Erwartungswert-Berechnung)?


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Alfred Heiligenbrunner schrieb:

> Gibt es transiente [t1, t2, ...] und absorbierende rekurrente (= End-)
> Zustände [r1, r2, ...] mit einer Übergangsmatrix
>
> t1 t2 t3 r1 r2
> t1 |
> t2 T | R
> t3 |
> ---------------- ,
> r1 |
> r2 0 | E
>
> so erhält man
> - die Ws., bei Start in tx in ry zu landen als (E-T)^(-1) . R

Wobei der Punkt vor dem R wohl als "mal" zu deuten ist, sowie die
Dimension der Einheitsmatrix E (s.u.) passend zu wählen ist.
Und mit "Ws., bei Start in tx in ry zu landen" ist offensichtlich kein
Skalar, sondern eine Matrix
/p_{11} p_{12}\
| p_{21} p_{22} |
\p_{31} p_{32}/
gemeint. Und ein einzelner Matrix-Eintrag p_{jk} beschreibt anscheinend
dann die Wahrscheinlichkeit, bei Start in tj nach unendlich langer
Zeit(!) in rk zu landen.
(In 'irgendeinem' der beiden Zustände r1 oder r2 wird früher oder später
sowieso mit Wahrscheinlichkeit 1 gelandet.)


Hier kann ich mir sogar noch vorstellen, wie man darauf kommt:
Beschreibe A_{j->k,n} das Ereignis

A_{j->k,n} := "Bei Start in t_j landet man nach genau n Schritten (erst-
und gleichzeitig letztmalig) in r_k".

Wenn man für beliebiges n e N_0 die Matrix T^n * R, oder in
elementeweiser Schreibweise
/a_{11,n} a_{12,n}\
T^n * R = | a_{21,n} a_{22,n} |
\a_{31,n} a_{32,n}/
betrachtet, so gibt hierbei z.B. der Matrix-Eintrag a_{12,n} die
Wahrscheinlichkeit für das oben definierte Ereignis A_{1->2,n+1} an,
P[A_{1->2,n+1}] = a_{12,n}.
Möchte man nun das Ereignis betrachten, daß man bei Start in j überhaupt
irgendwann mal in r_k landet, so entspricht das gerade dem Ereignis

Vereinigung_{n=1 bis unendlich} A_{j->k,n}.

Da die A_{j->k,n} für verschiedene n paarweise disjunkt sind, berechnet
sich die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung gemäß

P(Vereinigung...) = Summe_{n=1 bis unendlich} P[A_{j->k,n}]
= Summe_{n=0 bis unendlich} P[A_{j->k,n+1}]
= Summe_{n=0 bis unendlich} a_{jk,n}.

Diese einzelnen Summen (3*2 Stück) in einer Matrix zusammengefaßt
ergeben aber gerade die Matrix

/a_{11,n} a_{12,n}\
Summe_{n=0 bis unendlich} | a_{21,n} a_{22,n} |
\a_{31,n} a_{32,n}/

= Summe_{n=0 bis unendlich} (T^n * R)
= (Summe_{n=0 bis unendlich} T^n) * R
= (E-T)^-1 * R.

Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Formel für die Neumann'sche
Reihe für Matrizen angewendet. Dies geht, weil die Norm von T kleiner
als 1 ist.

> - die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry als (E-T)^(-1) . 1
> - die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx als
> (E-T)^(-1) - E.

Hierzu ist mir momentan noch nix eingefallen; vermutlich geht die
Begründung aber jeweils wieder über die Neumann'scher Reihe
Summe_{n=0 bis unendlich} T^n = (E-T)^-1.

> Dabei ist E die Einheitsmatrix, 1 die Matrix aus lauter 1-en.



--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

On 30 Okt., 22:22, Stephan Gerlach <mam99...*studserv.uni-leipzig.de>
wrote:
> Alfred Heiligenbrunner schrieb:
>
> > Gibt es transiente [t1, t2, ...] und absorbierende rekurrente (= End-)
> > Zustände [r1, r2, ...] mit einer Übergangsmatrix
>
> > * * * * * * *t1 t2 t3 * r1 r2
> > * * * * * t1 * * * * *|
> > * * * * * t2 * *T * * | * R
> > * * * * * t3 * * * * *|
> > * * * * * * *---------------- ,
> > * * * * * r1 * * * * *|
> > * * * * * r2 * *0 * * | * E
>
> > so erhält man
> > - * die Ws., bei Start in tx in ry zu landen als * (E-T)^(-1) . R
>
> Wobei der Punkt vor dem R wohl als "mal" zu deuten ist, sowie die
> Dimension der Einheitsmatrix E (s.u.) passend zu wählen ist.
> Und mit "Ws., bei Start in tx in ry zu landen" ist offensichtlich kein
> Skalar, sondern eine Matrix
> * /p_{11} *p_{12}\
> | p_{21} *p_{22} |
> * \p_{31} *p_{32}/
> gemeint. Und ein einzelner Matrix-Eintrag p_{jk} beschreibt anscheinend
> dann die Wahrscheinlichkeit, bei Start in tj nach unendlich langer
> Zeit(!) in rk zu landen.
> (In 'irgendeinem' der beiden Zustände r1 oder r2 wird früher oder später
> sowieso mit Wahrscheinlichkeit 1 gelandet.)
>
> Hier kann ich mir sogar noch vorstellen, wie man darauf kommt:
> Beschreibe A_{j->k,n} das Ereignis
>
> A_{j->k,n} := "Bei Start in t_j landet man nach genau n Schritten (erst-
> und gleichzeitig letztmalig) in r_k".
>
> Wenn man für beliebiges n e N_0 die Matrix T^n * R, oder in
> elementeweiser Schreibweise
> * * * * * * */a_{11,n} *a_{12,n}\
> T^n * R *= | a_{21,n} *a_{22,n} |
> * * * * * * *\a_{31,n} *a_{32,n}/
> betrachtet, so gibt hierbei z.B. der Matrix-Eintrag a_{12,n} die
> Wahrscheinlichkeit für das oben definierte Ereignis A_{1->2,n+1} an,
> P[A_{1->2,n+1}] = a_{12,n}.
> Möchte man nun das Ereignis betrachten, daß man bei Start in j überhaupt
> irgendwann mal in r_k landet, so entspricht das gerade dem Ereignis
>
> Vereinigung_{n=1 bis unendlich} A_{j->k,n}.
>
> Da die A_{j->k,n} für verschiedene n paarweise disjunkt sind, berechnet
> sich die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung gemäß
>
> P(Vereinigung...) *= Summe_{n=1 bis unendlich} P[A_{j->k,n}]
> * * * * * * * * * * = Summe_{n=0 bis unendlich} P[A_{j->k,n+1}]
> * * * * * * * * * * = Summe_{n=0 bis unendlich} a_{jk,n}.
>
> Diese einzelnen Summen (3*2 Stück) in einer Matrix zusammengefaßt
> ergeben aber gerade die Matrix
>
> * * * * * * * * * * * * * * * /a_{11,n} *a_{12,n}\
> * *Summe_{n=0 bis unendlich} | a_{21,n} *a_{22,n} |
> * * * * * * * * * * * * * * * \a_{31,n} *a_{32,n}/
>
> = *Summe_{n=0 bis unendlich} (T^n * R)
> = (Summe_{n=0 bis unendlich} T^n) * R
> = (E-T)^-1 * R.
>
> Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Formel für die Neumann'sche
> Reihe für Matrizen angewendet. Dies geht, weil die Norm von T kleiner
> als 1 ist.
>
> > - * die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry als * (E-T)^(-1) .. 1
> > - * die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx als
> > (E-T)^(-1) - E.
>
> Hierzu ist mir momentan noch nix eingefallen; vermutlich geht die
> Begründung aber jeweils wieder über die Neumann'scher Reihe
> Summe_{n=0 bis unendlich} T^n *= (E-T)^-1.
>
> > Dabei ist E die Einheitsmatrix, 1 die Matrix aus lauter 1-en.
>
> --> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
>
> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)





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Der Bulle will mich also wieder mal verhören - wielange soll das noch
weitergehen ?

Bewiesen ist wohl nun : Jeder der in Deutschland Steuern zahlt ist
Mittäter von Kriminellen !

On 31 Okt., 11:10, The Dust of Time <c...*cc-edge.de> wrote:
> On 30 Okt., 22:22, Stephan Gerlach <mam99...*studserv.uni-leipzig.de>
> wrote:
>
>
>
> > Alfred Heiligenbrunner schrieb:
>
> > > Gibt es transiente [t1, t2, ...] und absorbierende rekurrente (= End-)
> > > Zustände [r1, r2, ...] mit einer Übergangsmatrix
>
> > > * * * * * * *t1 t2 t3 * r1 r2
> > > * * * * * t1 * * * * *|
> > > * * * * * t2 * *T * * | * R
> > > * * * * * t3 * * * * *|
> > > * * * * * * *---------------- ,
> > > * * * * * r1 * * * * *|
> > > * * * * * r2 * *0 * * | * E
>
> > > so erhält man
> > > - * die Ws., bei Start in tx in ry zu landen als * (E-T)^(-1) . R
>
> > Wobei der Punkt vor dem R wohl als "mal" zu deuten ist, sowie die
> > Dimension der Einheitsmatrix E (s.u.) passend zu wählen ist.
> > Und mit "Ws., bei Start in tx in ry zu landen" ist offensichtlich kein
> > Skalar, sondern eine Matrix
> > * /p_{11} *p_{12}\
> > | p_{21} *p_{22} |
> > * \p_{31} *p_{32}/
> > gemeint. Und ein einzelner Matrix-Eintrag p_{jk} beschreibt anscheinend
> > dann die Wahrscheinlichkeit, bei Start in tj nach unendlich langer
> > Zeit(!) in rk zu landen.
> > (In 'irgendeinem' der beiden Zustände r1 oder r2 wird früher oder später
> > sowieso mit Wahrscheinlichkeit 1 gelandet.)
>
> > Hier kann ich mir sogar noch vorstellen, wie man darauf kommt:
> > Beschreibe A_{j->k,n} das Ereignis
>
> > A_{j->k,n} := "Bei Start in t_j landet man nach genau n Schritten (erst-
> > und gleichzeitig letztmalig) in r_k".
>
> > Wenn man für beliebiges n e N_0 die Matrix T^n * R, oder in
> > elementeweiser Schreibweise
> > * * * * * * */a_{11,n} *a_{12,n}\
> > T^n * R *= | a_{21,n} *a_{22,n} |
> > * * * * * * *\a_{31,n} *a_{32,n}/
> > betrachtet, so gibt hierbei z.B. der Matrix-Eintrag a_{12,n} die
> > Wahrscheinlichkeit für das oben definierte Ereignis A_{1->2,n+1} an,
> > P[A_{1->2,n+1}] = a_{12,n}.
> > Möchte man nun das Ereignis betrachten, daß man bei Start in j überhaupt
> > irgendwann mal in r_k landet, so entspricht das gerade dem Ereignis
>
> > Vereinigung_{n=1 bis unendlich} A_{j->k,n}.
>
> > Da die A_{j->k,n} für verschiedene n paarweise disjunkt sind, berechnet
> > sich die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung gemäß
>
> > P(Vereinigung...) *= Summe_{n=1 bis unendlich} P[A_{j->k,n}]
> > * * * * * * * * * * = Summe_{n=0 bis unendlich}P[A_{j->k,n+1}]
> > * * * * * * * * * * = Summe_{n=0 bis unendlich}a_{jk,n}.
>
> > Diese einzelnen Summen (3*2 Stück) in einer Matrix zusammengefaßt
> > ergeben aber gerade die Matrix
>
> > * * * * * * * * * * * * * * * /a_{11,n} *a_{12,n}\
> > * *Summe_{n=0 bis unendlich} | a_{21,n} *a_{22,n} |
> > * * * * * * * * * * * * * * * \a_{31,n} *a_{32,n}/
>
> > = *Summe_{n=0 bis unendlich} (T^n * R)
> > = (Summe_{n=0 bis unendlich} T^n) * R
> > = (E-T)^-1 * R.
>
> > Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Formel für die Neumann'sche
> > Reihe für Matrizen angewendet. Dies geht, weil die Norm von T kleiner
> > als 1 ist.
>
> > > - * die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry als * (E-T)^(-1) . 1
> > > - * die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx als
> > > (E-T)^(-1) - E.
>
> > Hierzu ist mir momentan noch nix eingefallen; vermutlich geht die
> > Begründung aber jeweils wieder über die Neumann'scher Reihe
> > Summe_{n=0 bis unendlich} T^n *= (E-T)^-1.
>
> > > Dabei ist E die Einheitsmatrix, 1 die Matrix aus lauter 1-en.
>
> > --> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
>
> > gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
> > (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
>
> Warum steht auf der Startseite meiner Homepage "Diese Domain ist
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> Berlin beim Schäuble registriert !!!!
>
> Der Bulle will mich also wieder mal verhören - wielange soll das noch
> weitergehen ?
>
> Bewiesen ist wohl nun : Jeder der in Deutschland Steuern zahlt ist
> Mittäter von Kriminellen !

In CNBC kam heute ein Bericht über soziale Netzwerke - Twitter,
Facebook, Scype und Co., aber Google ist ja wohl ein asoziales
Netzwerk !

On 29 Okt., 06:52, Alfred Heiligenbrunner
<alfred.heiligenbrunner_nos...*gmx.at> wrote:
> Pascal schrieb am 28.10.2009 20:55:
>
>
>
>
>
> > Hallo =)
>
> > In dem Spiel dreht es sich um die natürliche Zahl k, welche zu Begin 0
> > ist und welche man als Spieler erhöhen möchte.
> > In jeder Runde wird jetzt:
> > - mit einer Wahrscheinlichkeit von p=1/3 der Wert von k um eins erhöht.
> > - ansonsten (p=2/3) wird k um eins erniedrigt, ist allerdings k=0 bleibt
> > es 0.
>
> > Beispiel:
> > 1. Runde: k=0
> > 2. Runde: k=0
> > 3. Runde: k=1
> > 4. Runde: k=0
> > 5. Runde: k=1
> > 6. Runde: k=2
>
> > Die Frage lautet jetzt, wieviele Runden man im Durchschnitt braucht um
> > z.B. k=6 zu erreichen (Erwartungswert?). Wie würde man soetwas rechnen?
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Markow-Kette
>
> Von 'k=0' kommt man im Mittel nach 360 Schritten zu 'k=6'.
> (Mit etwas Eigenwerbung:http://www.heiligenbrunner.at/main/ahstoch.htm.)
>
> Alfred- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -

Tolle homepage - wie lautet deine Telefonnummer, Alfred ?

( ich stelle meine übrigens auch ganz cool ins Internet ...... )

Stephan Gerlach schrieb am 30.10.2009 22:22:
> Alfred Heiligenbrunner schrieb:
>
>> Gibt es transiente [t1, t2, ...] und absorbierende rekurrente (= End-)
>> Zustände [r1, r2, ...] mit einer Übergangsmatrix
>>
>> t1 t2 t3 r1 r2
>> t1 |
>> t2 T | R
>> t3 |
>> ---------------- ,
>> r1 |
>> r2 0 | E
>>
>> so erhält man
>> - die Ws., bei Start in tx in ry zu landen als (E-T)^(-1) . R
>
> Wobei der Punkt vor dem R wohl als "mal" zu deuten ist, sowie die
> Dimension der Einheitsmatrix E (s.u.) passend zu wählen ist.
> Und mit "Ws., bei Start in tx in ry zu landen" ist offensichtlich kein
> Skalar, sondern eine Matrix
> /p_{11} p_{12}\
> | p_{21} p_{22} |
> \p_{31} p_{32}/
> gemeint. Und ein einzelner Matrix-Eintrag p_{jk} beschreibt anscheinend
> dann die Wahrscheinlichkeit, bei Start in tj nach unendlich langer
> Zeit(!) in rk zu landen.
> (In 'irgendeinem' der beiden Zustände r1 oder r2 wird früher oder später
> sowieso mit Wahrscheinlichkeit 1 gelandet.)
>
>
> Hier kann ich mir sogar noch vorstellen, wie man darauf kommt:
> Beschreibe A_{j->k,n} das Ereignis
>
> A_{j->k,n} := "Bei Start in t_j landet man nach genau n Schritten (erst-
> und gleichzeitig letztmalig) in r_k".
>
> Wenn man für beliebiges n e N_0 die Matrix T^n * R, oder in
> elementeweiser Schreibweise
> /a_{11,n} a_{12,n}\
> T^n * R = | a_{21,n} a_{22,n} |
> \a_{31,n} a_{32,n}/
> betrachtet, so gibt hierbei z.B. der Matrix-Eintrag a_{12,n} die
> Wahrscheinlichkeit für das oben definierte Ereignis A_{1->2,n+1} an,
> P[A_{1->2,n+1}] = a_{12,n}.
> Möchte man nun das Ereignis betrachten, daß man bei Start in j überhaupt
> irgendwann mal in r_k landet, so entspricht das gerade dem Ereignis
>
> Vereinigung_{n=1 bis unendlich} A_{j->k,n}.
>
> Da die A_{j->k,n} für verschiedene n paarweise disjunkt sind, berechnet
> sich die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung gemäß
>
> P(Vereinigung...) = Summe_{n=1 bis unendlich} P[A_{j->k,n}]
> = Summe_{n=0 bis unendlich} P[A_{j->k,n+1}]
> = Summe_{n=0 bis unendlich} a_{jk,n}.
>
> Diese einzelnen Summen (3*2 Stück) in einer Matrix zusammengefaßt
> ergeben aber gerade die Matrix
>
> /a_{11,n} a_{12,n}\
> Summe_{n=0 bis unendlich} | a_{21,n} a_{22,n} |
> \a_{31,n} a_{32,n}/
>
> = Summe_{n=0 bis unendlich} (T^n * R)
> = (Summe_{n=0 bis unendlich} T^n) * R
> = (E-T)^-1 * R.
>
> Beim letzten Gleichheitszeichen wurde die Formel für die Neumann'sche
> Reihe für Matrizen angewendet. Dies geht, weil die Norm von T kleiner
> als 1 ist.

Sehr gut.

>
>> - die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry als (E-T)^(-1) . 1

Das geht mit folgender Begründung.
Angenommen, es gibt nur einen Endzustand E (= ry = r1).
Die transienten Zustände seien t_1, t_2, ..., t_n.
p_{i,j} sei die Wahrscheinlichkeit, in einem Schritt von t_i nach t_j zu
kommen.

Sei s_i die mittlere Anzahl von Schritte, die notwendig ist, um von
Zustand t_i zum Endzustand E zu kommen.

Es gilt dann:
s_1 = 1 + p_{1,1} s_1 + p_{1,2} s_2 + ... + p_{1,n} s_n.
In Worten: Um von t_1 nach E zu kommen brauche ich mindestens 1 Schritt
sowie Anteile p_{1,j} an den Weglängen s_j (s_j = Weglänge von t_j nach
E), je nachdem, wohin ich nach dem einen Schritt gelangt bin.

Genauso gilt:
s_2 = 1 + p_{2,1} s_1 + p_{2,2} s_2 + ... + p_{2,n} s_n.
...
s_n = 1 + p_{n,1} s_1 + p_{n,2} s_2 + ... + p_{n,n} s_n.

In Matrix-Schreibweise:
S = 1 + T . S

Das lässt sich umformen zu
(E - T) . S = 1
oder
S = (E - T)^(-1) . 1.

(1 ist dabei ein Vektor der Länge n aus lauter "1"-en.)
(T ist die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten p_{i,j}.)



Inwieweit man damit Aussagen über mehrere Endzustände machen kann, muss
ich mir noch überlegen.
Immerhin kann man den Workaround verwenden, von jedem "ursprünglichen"
Endzustand r_j einen Übergang zu einem neuen Endzustand E dazu zu geben.
Jedes r_j erreicht E mit Wahrscheinlichkeit 1 in genau 1 Schritt.
Aus der Aussage t_i erreicht E in durchschnittlich s_i Schritten kann
man dann schließen, dass t_i in s_i - 1 Schritten in einem der r_j war.


Ein anderer Weg der Berechnung ist folgender.
Der Erwartungswert der Anzahl der Schritte von Zustand z_i nach Zustand
z_j steht in Element (i,j) der Matrix

1 * P + 2 * P . P + 3 * P . P . P + ... = P . (E-P)^(-2).

(Das Gleichheitszeichen gilt auf Grund von Matrizen-Arithmetik und
natürlich nur im Fall, dass der rechte Ausdruck existiert.)
Dabei ist P die Übergangsmatrix, wobei die Zeile j durch lauter 0-en
ersetzt wurde. (Von Zustand z_j möchte man ja nicht mehr weg.)

Zumindest im Fall von nur 1 Endzustand kann man
P . (E-P)^(-2)
ersetzen durch
(E - T)^(-1) . 1.



>> - die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx als
>> (E-T)^(-1) - E.

Das ist ein relativ tief liegendes Resultat aus der Theorie der
Markoff-Ketten. Näheres sollte sich im Dunstkreis "Ergodensatz" und "K.
L. Chung" finden lassen.

Alfred Heiligenbrunner schrieb am 02.11.2009 20:55:
> Ein anderer Weg der Berechnung [der mittleren Anzahl der Schritte bis zum Endzustand] ist folgender.
> Der Erwartungswert der Anzahl der Schritte von Zustand z_i nach Zustand
> z_j steht in Element (i,j) der Matrix
>
> 1 * P + 2 * P . P + 3 * P . P . P + ... .

Das war falsch. Tut leid.

Die Aussage stimmt nur dann, wenn jede der Matrizen P, P.P, P.P.P, ...,
P^n, ... als Element (i,j) die BEDINGTE Wahrscheinlichkeit enthält, nach
n Schritten in in z_j zu enden, unter der _Bedingung_, dass das Ende
überhaupt in z_j ist. Wenn also Summe(n = 1, 2, ...: p_(i,j)(n)) = 1
ist. Das ist dann der Fall, wenn es nur 1 Endzustand gibt. Dieser Fall
ist aber schon mit einfacheren Mitteln berechenbar.

Alfred Heiligenbrunner schrieb am 02.11.2009 20:55:
> Stephan Gerlach schrieb am 30.10.2009 22:22:
>> Alfred Heiligenbrunner schrieb:
>>
>>> Gibt es transiente [t1, t2, ...] und absorbierende rekurrente (=
>>> End-) Zustände [r1, r2, ...] mit einer Übergangsmatrix
>>>
>>> t1 t2 t3 r1 r2
>>> t1 |
>>> t2 T | R
>>> t3 |
>>> ---------------- ,
>>> r1 |
>>> r2 0 | E
>>>
>>> so erhält man
>>> - die Ws., bei Start in tx in ry zu landen als (E-T)^(-1) . R
>>
>> Wobei der Punkt vor dem R wohl als "mal" zu deuten ist, sowie die
>> Dimension der Einheitsmatrix E (s.u.) passend zu wählen ist.
>> Und mit "Ws., bei Start in tx in ry zu landen" ist offensichtlich kein
>> Skalar, sondern eine Matrix
>> /p_{11} p_{12}\
>> | p_{21} p_{22} |
>> \p_{31} p_{32}/
>> gemeint. Und ein einzelner Matrix-Eintrag p_{jk} beschreibt anscheinend
>> dann die Wahrscheinlichkeit, bei Start in tj nach unendlich langer
>> Zeit(!) in rk zu landen.
>> (In 'irgendeinem' der beiden Zustände r1 oder r2 wird früher oder später
>> sowieso mit Wahrscheinlichkeit 1 gelandet.)

....
>
>>
>>> - die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry als (E-T)^(-1) . 1
>
> Das geht mit folgender Begründung.
> Angenommen, es gibt nur einen Endzustand E (= ry = r1).
> Die transienten Zustände seien t_1, t_2, ..., t_n.
> p_{i,j} sei die Wahrscheinlichkeit, in einem Schritt von t_i nach t_j zu
> kommen.
>
> Sei s_i die mittlere Anzahl von Schritte, die notwendig ist, um von
> Zustand t_i zum Endzustand E zu kommen.
>
> Es gilt dann:
....
> S = (E - T)^(-1) . 1.
>
> (1 ist dabei ein Vektor der Länge n aus lauter "1"-en.)
> (T ist die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten p_{i,j}.)
>

Die selbe Rechnung kann man auch durchführen, wenn es mehrere
Endzustände gibt.
s_i ist dann die mittlere Anzahl der Schritte, die notwendig ist, um von
Zustand t_i zu _einem_ (egal welchem) der Endzustände zu kommen.

>
>
> Ein anderer Weg der Berechnung ist folgender.
> Der Erwartungswert der Anzahl der Schritte von Zustand z_i nach Zustand
> z_j steht in Element (i,j) der Matrix
>
....

> P . (E-P)^(-2).
>
> Dabei ist P die Übergangsmatrix, wobei die Zeile j durch lauter 0-en
> ersetzt wurde. (Von Zustand z_j möchte man ja nicht mehr weg.)
>
....
>
>
>>> - die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx als
>>> (E-T)^(-1) - E.
>

Beispiel:
Betrachten wir die 4 Zustände t1, t2, r1, r2 mit der Übergangsmatrix
von\zu | t1 t2 r1 r2
-------------------------
t1 | 1/3 1/3 1/3 0
t2 | 0 1/2 0 1/2
r1 | 0 0 1 0
r2 | 0 0 0 1


Als ASCII-Grafik sehen die Übergänge so aus:

__ __
1/3 / \ 1/3 / \ 1
'-> t1 -----------> r1 <-'
|
__ | 1/3 __
1/2 / \ v 1/2 / \ 1
'-> t2 -----------> r2 <-'

Neben den absorbierenden Zuständen (d.h., Endzuständen) r1 und r2 gibt
es noch die Zustände t1 und t2.


Es ist
/ 1/3 1/3 \
T = | |,
\ 0 1/2 /

/ 1/3 0 \
R = | |,
\ 0 1/2 /

/ 3/2 1 \
(E-T)^(-1) = | |.
\ 0 2 /


Ergebnisse:
1) die Ws., bei Start in tx in ry zu landen ist (E-T)^(-1) . R:

Wahrscheinlichkeit für Endzustand:
von\zu | r1 r2
------------------
t1 | 1/2 1/2
t2 | 0 1

(Bei Start in t1 lande ich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in r1 oder
r2. Bei Start in t2 lande ich mit Sicherheit nur in r2.)

2) die mittlere Anzahl der Schritte von tx zu ry ist (E-T)^(-1) . 1:

Schrittanzahl bis zu irgendeinem der Endzustände:
von\zu | {r1 oder r2}
------------------
t1 | 5/2
t2 | 2

(Von t1 brauche ich im Mittel 2.5 Schritte, um irgendwo absorbiert zu
werden. Bei Start in t2 brauche ich im Mittel 2 Schritte.)

3) die mittlere Anzahl der Besuche in ty bei Start in tx ist
(E-T)^(-1) - E:

von\zu | t1 t2
------------------
t1 | 1/2 1
t2 | 0 1

(Bei Start in t1 besuche ich t1 im Durchschnitt 1/2 Mal, t2 1 Mal.
Bei Start in t2 komme ich nicht zu t1, und verweile in t2 im Durschnitt
1 Schritt lang.)